KORELASI LINEAR

KORELASI LINEAR


Contoh:
Hitung dan tafsirkan koefisien korelasi bagi data berikut ini:

x (tinggi) 12 10 14 11 12 9
y (bobot) 18 17 23 19 20 15
Jawab:
Dari data kita memperoleh
, ,
,
Dengan demikian


Koefisien korelasi sebesar 0.947 menunjukkan adanya hubungan linear yang sangat baik antara X dan Y. Karena r2 = 0.90, maka kita dapat mengatakan bahwa 90% di antara keragaman dalam nilai-nilai Y dapat dijelaskan oleh hubungan linearnya dengan X.
Koefisien korelasi contoh r merupakan sebuah nilai yang dihitung dari n pengamatan . Contoh acak berukuran n yang lain tetapi diambil dari populasi yang sama biasanya akan menghasilkan nilai r yang berbeda pula. Dengan demikian kita dapat memandang r sebagai suatu nilai dugaan bagi seluruh anggota populasi. Baiklah kita lambangkan koefisien korelasi populasi ini dengan . Akan tetapi suatu nilai contoh r yang mendekati +1 atau -1 menyarankan kepada kita untuk menyimpulkan bahwa . Masalahnya sekarang adalah bagaimana mendapatkan suatu uji yang akan mengatakan kepada kita kapan r berada cukup jauh dari suatu nilai tertentu , agar kita mempunyai cukup alasan untuk menolak hipotesis nol H0 bahwa dan menerima alternatifnya. Hipotesis alternatifnya H1 biasanya salah satu di antara , , atau .
Uji terhadap hipotesis nol bahwa didasarkan pada besaran.


yang merupakan nilai suatu peubah acak yang menyebar menghampiri sebaran normal dengan nilai tengah dan ragam 1/(n - 3). Jadi, prosedur ujinya berupa menghitung

dan membandingkannya dengan nilai kritik sebaran normal baku.
Contoh:
Untuk data teladan 12, ujilah hipotesis nol bahwa tidak ada hubungan linear antara peubah-peubah tersebut. Gunakan taraf nyata 0.05.
Jawab:
H0 : ρ = 0
H1 : ρ ≠ 0
α = 0.05
wilayah kritik: z < -1.96 dan z > 1.96

KORELASI GANDA
Siswa Peringkat Kimia
y Nilai Ujian
x1 Frekuensi Membolos (x2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 85
74
76
90
85
87
94
98
81
91
76
74 65
50
55
65
55
70
65
70
55
70
50
55 1
7
5
2
6
3
2
5
4
3
1
4


Rumus :

A
Hitung dan tafsirkan koefisien determinasi berganda bagi contoh acak di atas!
Jawab:
Dengan memanfaatkan hasil perhitungan dan kenyataa bahwa
dan s2y = 66.205
kita memperoleh
JKG = 85905 – (27.547)(1011) – (0.922)(61685) – (0.284)(3581)
= 164.409
sehingga

Hasil perhitungan R2Y.12 = 0.774 menunjukkan bahwa bidang regresi
dapat dijelaskan 77.4% keragaman dalam Y.

REGRESI DAN KORELASI
Analisis Regresi sederhana dilakukan bila ada satu prediktor dan satu kreterium
mis: apakah prestasi siswa dapat diramalkan dari hasil ujian tes masuk

Tabel kerja
No. X y x2 y2 xy
1 9 9 81 81 81
2 6 7 36 49 42
3 7 7 49 49 49
4 6 7 36 49 42
5 8 8 64 64 64
6 8 8 64 64 64
7 8 8 64 64 64
8 7 8 49 64 56
9 7 7 49 49 49
10 8 9 64 81 72

74 78 556 614 583
N








UJI HIPOTESIS

Uji Hipotesis nol bahwa tidak ada hubungan linear antara variabel-variabel tersebut gunakan
Jawab: H0 : p = 0 (Tidak ada korelasi)
H1 : p ≠ 0 (Ada korelasi)
α = 0,05
Wilayah kritik Z < -1,96 dan Z > 1,96
Hubungan  Rumus :

Keputusan : H0 ditolak yang menyatakan antara kedua variabel tidak ada hubungan karena Zhit = 4,63 > Ztab = 1,96
Kesimpulan : bahwa ada hubungan linear antara prestasi siswa dengann tes masuk

PERSAMAAN REGRESI

Rumus :
Dik:



Jadi garis regresi adalah :
Dengan mensubtitusikan sembarang nilai x
mis: x = 6 =>
Cara Lain dengan kalkulator
Inv AC / KAC masukkan data x  X0, Y0 data Y Data RUN
Inv. A  a
Inv. B  b
Inv. r  Korelasi
Uji Kelinearan dan Keberartian Regresi
Pemeriksaan kelinearan regresi dilakukan melalui pengujian hipotesis nol tahun regresi linear melawan hipotesis tandingan dengan regresi non-linear. Sedangkan keberartian regresi diperiksa melalui pengujian hipotesis nol bahwa koefisien-koefisien regresi sama dengan nol (tidak berarti) melawan hipotesis tandingan yang koefisien arah regresi tidak sama dengan nol
Hipotesis
1. H0 = Koefisien regresinya = 0 (tidak berarti)
H1 = Koefisien regresinya ≠ 0 (berarti)
2. H0 = Garis regresinya linear
H1 = Garis regresinya tidak linear
Pasangan data x dan y perlu disusun dengan pengulangan pengamatan terhadap y
Skor tes masuk (x) dan prestasinya (y) setelah x di kelompokkan

x kelompok ni Y
6 1 2 7
6 7
7 2 3 7
7 7
7 8
8 3 4 8
8 8
8 8
8 9
9 4 1 9
Dari tabel diatas ada sejumlah 4 kelompok jadi k=4 dengan n1 = 2 , n2 = 3 , n3 = 4 dan n4 = 1
Dengan menggunakan rumus JK (a) yang terdiri dari 4 buah penjumlahan.

Dengan semua harga-harga tersebut didapat daftar ANAVA berikut
Daftar ANAVA untuk regresi linear
Daftar Analisis Varians (ANAVA) Regresi Linear sederhana
Sumber Varians DK JK KT F
Koefisien (a) 1 JK(a) JK(a)
Regresi (b/a) 1 JK(b/a) S2reg = JK(b/a)
Sisa (Residu) n-2 JK(s)


Tuna cocok k-2 JK(Te)

Galat n-k JK(G)



Sumber Variasi DK JK KT F
Total 10
614 - -
Koefisien (a) 1 608,4 - -
Regresi (b/a) 1 4,0 4,0

Sisa 8 1,6
-
Tuna Cocok k-2
A-2 = 2 0,15
-
Galat n-k
10-4 = 6 1,45




Kesimpulan :
Untuk uji hipotesis 1  uji keberartian regresi
Dengan dari daftar distribusi F, dengan DK pembilang 1 dan penyebut 8 diperoleh Ft = 11,26 jadi berarti Fhit > Ft  20 > 11,26. H0 ditolak dan H1 diterima yang berarti bahwa koefisien arah regresi berarti atau dengan kata lain nilai tes masuk dapat digunakan sebagai prediktor prestasi di sekolah
Untuk uji hipotesis 2  uji kelinearan garis regresi
Dengan , DK pembilang 2 dan penyebut 6 diperoleh Ft =10,92 jadi berarti Fhit < Ft  0,31 < 10,92
H0 diterima dan H1 ditolak yang berarti bahwa garis regresinya linear, dengan kata lain bahwa reg dapat dipergunakan untuk mengambil kesimpulan

A. ANALISIS KORELASI


Analisis korelasi adalah merupakan salah satu teknik yang banyak digunakan dalam penelitian. Menurut arahnya korelasi ada dua yaitu : korelasi negatif dan korelasi positif, sedang menurut sifatnya dapat dibedakan menjadi dua yaitu : korelasi kausal dan koresponden. Besarnya korelari antara -1 dan 1.
Jenis-jenis tehnik analisis korelasi ada bermacam-macam dan dalam penggunaannya harus dipilih yang paling sesuai dengan jenis data yang dianalisis.
Penggunaan suatu tehnik analisis yang tidak sesuai dengan jenis data yang dianalisis tidak akan memberikan kesimpulan yang berarti.

KORELASI PRODUCT MOMENT

Korelasi Product Moment digunakan apabila kita mempunyai dua ubahan interval baik ubahab bebas maupun ubahan gantung.


N∑xy - (∑x)(∑y)
rxy = ________________________________________________
√{ N ∑x2 - ( ∑X ) 2 } { N∑y2 - ( ∑Y)2 }

Contoh :
Seorang peneliti ingin mengetahui apakah ada hubungan antara nilai tes IQ dengan prestasi matematika. Dari hasil pengukuran diperoleh hasil sebagai berikut :

X ( IQ ) 90 80 100 110 115 80 90 100 100 95 95 115 90 100 100

Y ( rt2 nilai ) 60 60 70 75 80 50 55 70 65 60 65 70 70 80 70


Dari soal tersebut maka dapat dirumuskan hipotesis penelitian sebagai berikut :
Ada korelasi positif antara nilai tes IQ dengan nilai matematika. Untuk membuktikan hipotesis tersebut dapat dilakukan analisis dengan menggunakan Product Moment sebagai berikut :
Buat Tabel Kerja dulu , dari tabel kerja diperoleh :
N = 15
∑X = 1460
∑X2 = 143700
∑Y = 1000
∑Y2 = 67700
∑XY= 98325


15x 98325 –(1460x1000)
rxy = _______________________________________________________ = 0,773.
√ (15x143700 - 14602 ) – (15x67700-10002 )

Untuk mengetahui apakah koefisien korelasi yang diperoleh segnifikan atau tidak , maka kita bandingkan dengan tabel , misal ά = 0,01 dan N = 15 , diperoleh:
rt = 0,641 dan r = 0,773
karena r > rt yaitu 0,773 > 0,641 , maka hipotesis yang berbunyi : Ada korelasi positif antara nilai tes IQ dan nilai matematika adalah diterima.


B. ANALISIS REGRESI

Analisis Regresi digunakan untuk mengetahiu sumbangan ubahan bebas terhadap ubahan gantung atau untuk meramalkan kriterium oleh prediktor.
Tugas pokok regresi adalah : 1). Mencari korelasi antara kriterium dengan prediktor. 2). Menguji signifikansi korelasi tersebut. 3). Mencari persamaan garis regresi dan 4). Menentukan sumbangan prediktor terhadap kriterium.
Data yang cocok dianalisis dengan regresi adalah data data interval baik ubahan bebas (prediktor), maupun ubahan gantung (kriterium).

REGRESI SEDERHANA

Analisis regresi sederhana dilakukan bila ada satu prediktor dan satu kriterium. Misalnya suatu penyelidikan ingin mengetahui apa prestasi mahasiswa di PGSD dapat diramalkan dari hasil Ujian Masuk. Dari hasil pengamatan diperoleh data sebagai berikut :


X ( nilai tes masuk) 9 6 7 6 8 8 8 7 7 8
_______________________________________________________
Y ( prestasi di sekolah) 9 7 7 7 8 8 9 8 7 9

Buat tabel kerja dulu
Dari data diperoleh :
N = 10 ∑Y = 78
∑X = 74 ∑Y 2 = 614
∑X2 = 556 ∑XY = 583

∑XY = ∑XY - ( ∑X)( ∑Y) = 583 - 74 x 78 = 583 – 577,2 = 5,8
N 10


∑X2 = ∑X2 - (∑X)2 = 556 – (74)2 = 8,4
N 10


∑Y2 = ∑Y2 - (∑Y)2 = 614 - (78)2 = 5,6
N 10

rxy = = = 0,847
rt 0,01 = 0,765
rhit = 0,847 , Karena rhit > rt maka korelasi antara ujian masuk dengan prestasi sangat bermakna,dengan demikian prestasi mahasiswa di kelas dapat diramalkan melalui ujian masuk.

Persamaan garis regresi untuk satu prediktor adalah :
^
Y = aX + K
Dengan metode skor kasar dapat dicari a dan K dengan persamaan :

(1) ∑XY = a ∑X2 + k∑X → 583 = a x 556 + K x 74
(2) ∑Y = a ∑X + NK → 78 = a x 74 + 10 x K
7,8784 = 7,5135 a + K
7,8 = 7,4 a + K
---------------------------- -
0,0784 = 0,1135 a
a = 0,0784/0,1135
= 0,6905
Untuk a = 0,6905
7,8 = 7,4 a + K
7,8 = 7,4 x 0,6905 + K
K = 7,8 – 5,1095
K = 2,6905
Jadi persamaan regresinya adalah : Y = 0,6905 X + 2,6905

Garis Regresinya
Gambar sendiri

Varian Garis Regresi dapat dicari dengan rumus :

KRreg Freg = harga bilangan F garis regresi
Freg = ------- , dimana : KRreg = Kuadrat rerata garis regresi
Krres KRres = Kuadrat rerata residu
Dihitung dulu jumlah kuadrat.
(∑Y)2 782
JKT = ∑Y2 - ------- = 614 - --- = 5,6
N 10

(∑Y)2 (78)2
Jkreg = a ∑XY + K ∑Y - ------ = 0,6905 x 583 + 2,6905 x78 - ----- = 3,69
N 10
d.breg = 1
JKreg
KRreg = ------- = 3.69
d.breg

Jkres = ∑Y2 -a∑XY - K∑Y
= 614 – 0,6905x583 – 2,6905x78
= 1,91
d.bres = N-2 = 8

JKres 1,91
Krres = ------- = ------- = 0,23875
d.bres 8
KRreg 3,69
Freg = ---------- = ------------ = 15,455
KRres 0,23875

Tabel ringkasan Regresi

Sumber Variasi d.b JK KR Freg P ( galat )
Regresi (reg) 1 3,69 3,69 15,455 0,01
Residu (res) 8 1,91 0,23875

Total 9 5,6 - -

Ft 0,01 d.b 1/8 = 11,26
F = 15,455. Karena F > Ft , maka H0 ditolak dan H1 diterima
Kesimpulannya : Bahwa ujian masuk dapat digunakan sebagai prediktor yang menyakinkan dengan peluang galat lebih kecil dari 1 %

C. ANALISIS VARIAN ( ANAVA )


Dalam penelitian peneliti menghadapi sampel yang lebih dari dua kelompok, sehingga uji –t tidak efisien lagi untuk digunakan, untuk itu dapat digunakan yang lebih tepat dengan ANAVA ( Analisis Varian ). Beberapa istilah pokok yang harus dimengerti dalam menggunakan ANAVA , antara lain :
Dalam satu kelompok dijumpai Variabelitas dalam kelompok, karena hanya ada dalam satu distribusi. Apabila menghadapi beberapa kelompok maka akan dijumpai adanya beberapa distribusi serta adanya beberapa variabilitas. Variabilitas tersebut adalah variabilitas dalam kelompok, variabilitas antar kelompok serta variabilitas total. Variabilitas dalam kelompok adalah variabilitas yang diperoleh dari masing-masing kelompok atau masing-masing distribusi. Dari variabilitas dalam kelompok ini akan kita jumpai rerata dalam, simpangan baku serta jumlah kuadrat dalam.
Disamping variabilitas dalam juga ditemui variabilitas antar kelompok yaitu suatu variabilitas yang terjadi karena deviasi-deviasi antar kelompok, sedangkan variabilitas total adalah yang terjadi dari variabilitas dalam dan antar kelompok.
Dari uraian tersebut bahwa ANAVA digunakan untuk menguji beda rerata antara tiga kelompok sampel atau lebih, atau tiga pengamatan atau lebih.


Contoh:
Seorang peneliti ingin mengetahui sikap sosial antara mahasiswa berasal dari desa,pinggiran kota dan dari kota. Dari hasil pengamatan diperoleh hasil sebagai berikut :


Kota (A1) 5 4 3 4 5 5 6 6 7 8

Pinggir (A2) 5 6 4 6 5 7 8 8 7 9 8 4

Desa (A3) 6 6 7 7 8 8 7 8 9 9 6

Hipotesis yang ingi dibuktikan adalah bahwa mahasiswa desa memiliki sikap sosial yang lebih besar dari pada mahasiswa pinggir kota maupun mahasiswa kota.
Jawab.
Langkah – langkahnya :
1. Membuat tabel kerja.

A1 A2 A3 (A1)2 (A2)2 (A3)2
5 5 6 25 25 36
4 6 6 16 36 36
3 4 7 9 16 49
4 6 7 16 36 49
5 5 8 25 25 64
5 7 8 25 49 64
6 8 7 36 64 49
6 8 8 36 64 64
7 7 9 49 49 81
8 9 9 64 81 81
8 6 64 36
4 16
53 77 81 301 525 609
∑X1 ∑X2 ∑ X3 ∑X12 ∑X22 ∑X32

2. Menghitung
Belanja statistik yang diperlukan.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Statistik A1 A2 A3 Total
N 10 12 11 33
∑X 53 77 81 211
∑X2 301 525 609 1435
5,3 6,416 7,3636 6,3601
280,9 494,083 596,4545 1349,1212


3. Menghitung.

( ∑X1 )2 ( ∑X2 )2 ( ∑X3 )2 ( ∑XT )2
a). JKAnt = -------- + -------- + -------- - -----------
n1 n2 n3 N
( 53 )2 ( 77 )2 ( 81 )2 ( 211 )2
= -------- + -------- + ------- - ---------
10 12 11 33
= 2809/10 + 5929/12 + 6561/11 - 44521/33
= 289,9 + 494,083 + 596,4545 - 1349,1212
= 22,316
b). d.bAnt = a – 1 = 3 – 1 = 2

JKAnt 22,316
c). KRAnt = --------- = ------------ = 11,1583
d.bAnt 2
(∑ X1)2 (∑X2)2 (∑X3)2
d). JKDal = ∑XT - {---------- + ---------- + ----------}
n1 n2 n3


532 772 812
= 1435 – { -------- + -------- + -------- }
10 12 11


= 1435 - { 2809/10 + 5929/12 + 6561/11}
= 1435 – {280,9 + 494,0833 + 596,4545}
= 1435 – 1371,4388
= 63,56212
e). dbDal = N – a = 33 – 3 = 30
JKDal 63,56212
f). KRDal = ---------- = ------------ = 2,1187
dbDal 30

4. Menghitung F

KRAnt 11,1583
F = ---------- = ----------- = 5,2665
KRDal 2,1187
5. Membuat tabel ringkasan
Sumber Variansi JK d.b KR F P
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Antar 22,316 2 11,1583 5,2665 < 0,05
Dalam 63,562 30 2,1187
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Total 85,878 32 - -
6. Berkonsultasi dengan tabel
db . 2 lawan 30
Ft 0,05 =3,32
F = 5,267
Jadi F > Ft , maka H0 ditolak dan H1 diterima
Kesimpulannya :
Mahasiswa dari desa memiliki sikap sosial yang lebih besar dari mahasiswa pinggir kota dan kota dengan galat lebih kecil dari 5 % ( P < 0,05)

7. Menghitung uji berpasangan
Dalam menggunakan Anava apabila perbedaan rerata signifikan maka harus diteruskan dengan uji berpasangan atau scheffe test yaitu dengan rumus :
_ _
XA1 – XA2
t = --------------------------
√ KRD (1/n1 + 1/n2)

Dengan demikian maka dalam contoh diatas analisis dilanjutkan dengan uji berpasangan sebagai berikut :

a). Antara kota dan pinggir (A1 dan A2 )
_ _
XA1 – XA2
t1,2 = --------------------------------
√ KRD( 1/nA1 + 1/nA2)
5,3 – 6,417
= -----------------------------
√ 2,1187x ( 1/10 + 1/12)
- 1,117
= -----------------------
√ 2,1187 x 0,183
- 1,117
= ------------------
√0,3884
= - 1,7922
db=( n1 + n2) – 2 = 10 – 1 + 12 – 1= 20
tt 0,05 = 2,086
t = - 1,7922 , karena t < tt , maka H0 diterima.
Kesimpulan :
Sikap sosial mahasiswa kota tidak berbeda dengan sikap sosial mahasiswa pinggir kota dengan galat lebih besar dari 5 %




b). Antara mahasiswa Kota dengan mahasiswa Desa ( A1 dan A3 )
_ _
XA1 – XA3
t1,3 = -------------------------------
√ KRD (1/nA1 + 1/nA3)

5,3 – 7,364
= -------------------------------
√ 2,1187 x(1/10 + 1/11)

-2,064
= -----------------------
√ 2,1187 x 0,19091
-2,064
= -------------------
0,635599
= - 3,2453

d.b = (10 + 11) -2 = 19
tt 0,05 = 2,845, Karena t < tt maka H0 ditolak.
Kesimpulan :
Mahasiswa yang berasal dari desa mempunyai sikap sosial yang lebih tinggi dari pada mahasiswa dari Kota dengan galat 5 %

c). Antara mahasiswa pinggir kota dengan mahasiswa desa ( A2 dan A3 )
_ _
XA2 – XA3
t2.3 = -------------------------------
√ KRD (1/nA2 + 1/nA3)

6,417 – 7,364
= -------------------------------
√ 2,1187 x( 1/12 + 1/11)
- 0,947
= ------------------
0,6076
= - 1,5586

d.b = (12 + 11) – 2 = 21
tt 0,05 = 2,080 Karena t < tt, maka H0 diterima.
Kesimpulan :
Mahasiswa dari pinggir kota mempunyai sikap sosial yang tidak berbeda dengan mahasiswa dari desa dengan galat lebih besar dari 5 %